Archive for the ‘Desafios’ Category

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A opção “C” é a resposta correta: três afirmações são falsas.

Uma vez que cada declaração conclui que há um número diferente de declarações falsas, isso comprova que apenas uma instrução pode ser correta (daí, o objetivo é decidir qual afirmação é verdadeira). Dado que uma declaração é verdadeira, por definição, as outras três devem ser falsas!

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Propomos mais um desafio simples de lógica:

A. O número de declarações falsas aqui é uma.
B. O número de declarações falsas aqui são duas.
C. O número de declarações falsas aqui são três.
D. O número de declarações falsas aqui são quatro.

Qual das afirmações acima é verdadeira?

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O leiteiro enche o jarro de três litros e, em seguida, esvazia o conteúdo no jarro de cinco litros. Ele, então, enche o jarro de três litros de novo, e continua a encher o jarro de cinco litros até este estar cheio. O restante do leite no jarro três litros é precisamente um litro.

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Agora propomos um desafio mais simples, um tradicional desafio de lógica.

Um leiteiro tem dois jarros vazios: um jarro de três litros e um jarro de cinco litros. Como pode ele medir exatamente um litro sem perder leite?

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Um quadrado grande com n quadrados pequenos de cada lado tem n quadrados em cada diagonal.
Se n é par não há quadrados comuns às duas diagonais e o número total de quadrados nas diagonais é n + n = 2n, um número par.
Se n é ímpar, então há um quadrado comum às duas diagonais e o número total de quadrados nas diagonais é n + n − 1 = 2n − 1, um número ímpar.

1. Uma vez que pintou 101 quadrados de preto, o quadrado grande tem de ter um número ímpar de quadrados de lado. Assim, temos 2n − 1 = 101, donde obtemos n = 51, o que significa que o quadrado grande tem 51 quadrados pequenos de lado. No total, o quadrado grande é formado por 51 x 51 = 2601 quadrados pequenos.
Como dos 2601 quadrados pequenos 101 estão pintados de preto, então existem 2601 – 101 = 2500 quadrados brancos.

2. Usando o mesmo raciocínio, constata-se que o quadrado grande tem 100 quadrados pequenos de lado, num total de 10000. Assim, teria 9800 quadrados brancos.

3. Pelas amostras anteriores, pode-se rapidamente concluir que são os quadrados brancos.

4. Neste caso não haveria diferença entre um número par ou ímpar de quadrados pequenos de lado e o número de quadrados pretos seria sempre igual ao número de quadrados de lado.

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Imagine que pinta de preto os quadrados pequenos das duas diagonais de uma folha quadriculada quadrada, como no exemplo.

Desafio 2 - As palavras cruzadas Dona Sebenta

Imagine que pinta 101 quadrados e deixa em branco todos os outros.

1. Qual é o número de quadrados pequenos brancos que ficaram na folha?

2. Qual seria a resposta se tivesse 200 quadrados pintados de preto?

3. Qual o tipo de quadrados cujo número aumenta mais rapidamente, os pretos ou os brancos?

4. O que acontecia se pintasse de preto quadrados alternados?

Boa sorte!

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É possível criar o diagrama auxiliar apresentado de seguida no qual se simula a situação em que começamos com o valor n, vindo-se a obter 16n + 55 no topo.

Solução Desafio 1 - A pirâmide enfeitiçada Dona Sebenta

Assim, para descobrir a resposta à questão 1, ou seja, para saber quais os números que devem ser inseridos na posição a amarelo para que no topo apareçam o 167 e o 263, basta resolver separadamente cada uma das seguintes equações: 16n + 55=167 e 16n + 55=263. Obtêm-se as soluções 7 e 13, respetivamente.

A resposta à questão 2 em parte já se encontra reproduzida no diagrama acima, faltando apenas acrescentar que, por não haver uma solução inteira da equação 16n + 55=200, o número do topo nunca poderá ser o 200.

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Começamos aqui uma área nova no nosso site. Com uma frequência semanal iremos tentar colocar neste espaço desafios (essencialmente matemáticos e de lógica, mas não só) para o leitor se entreter na sua resolução. Terão vários níveis de dificuldade e não vão obedecer nenhuma ordem pré-estabelecida. Espero que gostem que que vão colocando nos comentários as vossas soluções.

Neste primeiro desafio propomos a descoberta da pirâmide enfeitiçada (até porque estamos em véspera do Halloween): as posições azuis são preenchidas automaticamente sempre que é colocado um número inteiro qualquer na posição a amarelo, como mostra a imagem abaixo.

 Desafio 1 - A pirâmide enfeitiçada Dona Sebenta

Questões:

  1. Que números devem ser inseridos na posição a amarelo para que no topo apareçam o 167 e o 263?
  2. Como se podem escrever de forma genérica os números do topo e porque esse número nunca poderá ser o 200?

Boa sorte!

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